Formulación de modelos matemáticos de Programación Lineal
“Si quieres ser feliz, establece una
meta que dirija tus pensamientos,
libere tu energía e inspire tus
esperanzas”. Andrew Carnegie
MOTIVACIÓN
Una pequeña refinería está por combinar cuatro productos del petróleo en tres mezclas finales de gasolina. Aunque las fórmulas de mezclado no son precisas, hay algunas restricciones en cuanto a la composición de las tres mezclas finales. Otras consideraciones incluyen el hecho de que hay disponibilidad limitada de los cuatro productos componentes y se requiere producir un total de 5 millones de litros de las tres mezclas finales, dos millones de los cuales deben ser de la mezcla final 1.
El problema es determinar el número de litros de cada componente que se debe utilizar en cada mezcla final con el propósito de incrementar al máximo la contribución a la utilidad total a partir de la operación de producción.
La PL permite resolver el problema general de asignar de la mejor manera posible (esto es, en forma óptima) recursos limitados a actividades que compiten entre sí por ellos.
La variedad de situaciones prácticas a las que se puede aplicar esta descripción es enorme. No obstante, el ingrediente común, de todas estas aplicaciones es la necesidad de asignar recursos a las actividades mediante la elección de los niveles de éstas.
La PL utiliza un modelo matemático para describir el problema. El adjetivo lineal significa que TODAS las funciones matemáticas del modelo son funciones lineales. En este contexto, la palabra programación no se refiere a términos computacionales, sino que se trata de un sinónimo de planificación.
Por tanto, la PL involucra la planificación de actividades para obtener un resultado óptimo, o sea, el resultado que mejor alcance la meta específica entre todas las alternativas factibles.
Todos los problemas de IO, y por lo tanto los de PL, están formados por cuatro componentes básicos
(1) Los PARÁMETROS que corresponden a los datos del sistema.
(2) Las VARIABLES DE DECISIÓN que deben calcularse (Actividades).
(3) El OBJETIVO que se requiere optimizar (maximizar o minimizar).
Si se trata de una función de utilidad o ganancia que estemos interesados en maximizar y si se trata de una función de costos estaremos interesados en minimizarla. Ahora bien lo que impide que esa función de ganancia adquiera un valor de infinito o que esa función de costo alcance un valor de cero.
(4) Las RESTRICCIONES que la solución debe satisfacer (Recursos).
Estos son los cuatro componentes, las cuatro piezas de información que se requieren para construir, para formular un modelo en el área de IO, en nuestro caso en el área de programación lineal.
Aquí esta la función objetivo, ella depende de las variables, este caso estamos previendo n variables (X1 hasta Xn) y
estas variables están siendo multiplicadas por constantes (C1, C2, hasta Cn), esta es la forma de la Función Objetivo,
matemáticamente es una función lineal.
Esto esta sujeto a las restricciones, fíjense que de nuevo aquí intervienen las variables, las n variables, aquí estamos
previendo m restricciones, que pueden ser de algunos de estos tipos de símbolos de relación, pueden ser <=, >= o =.
En este caso tenemos estos elementos o coeficientes aij y bj, que son nuevamente parámetros, son constantes, son
elementos que se conocen en el modelo.
Existen otro tipo de restricciones que están vinculadas a la naturaleza de las variables, generalmente las variables,
corresponden a cantidades físicas y estas cantidades serán positivas.
Entonces el primer tipo de restricciones, se conoce como las restricciones estructurales , están vinculadas al problema
en si. También se conocen como restricciones tecnológicas.
El segundo tipo de restricciones son los que están ligados a la naturaleza de las variables, también se llaman
restricciones de no negatividad.
Los Ci, en la función objetivo y las variables aij y bj, en las restricciones son constantes, son los parámetros.
Entonces nuevamente tenemos aquí el modelo matemático de un problema de programación lineal.
Y habíamos dicho que X1, X2, …, Xn, eran variables de decisión.
Entonces estas son las formas de las variables de decisión que suelen aparecer en los problemas de programación
lineal.
Terminología general de las soluciones de PL
Cualquier conjunto de valores específicos de las variables de decisión (x₁, x₂, …, xₙ) se llama una SOLUCIÓN
Una SOLUCIÓN FACTIBLE es aquella donde TODAS las restricciones se satisfacen
Una SOLUCIÓN NO FACTIBLE es una solución en que AL MENOS UNA restricción se incumple
La REGIÓN FACTIBLE es el conjunto o reunión de TODAS las soluciones factibles
Una SOLUCIÓN ÓPTIMA es una solución factible que proporciona el VALOR MÁS FAVORABLE de la función objetivo
Entonces si estamos maximizando , proporcional el máximo valor y si estamos
minimizando proporcional el mínimo valor.
Aquí tenemos un ejemplo de soluciones optimas múltiples , estamos trabajando en el plano cartesiano, tenemos solo
dos variables X1 y X2 y estamos graficando en el primer cuadrante, recuerden X1 y X2 deben ser no negativas.
Lo que se encuentra en el polígono corresponde a la región factible y nos esta diciendo, que este segmento de recta
ubicado entre el vértice A y el vértice B.
Todos los valores sobre ese segmento de recta, cualquier punto que consideremos va tener un valor de función
objetivo de 18 y esto matemáticamente significa que hay infinitos valores que proporcionan el valor de la función
objetivo.
Por ejemplo, por eso estamos ante esta situación de solución optima múltiples.
Este es el ultimo tipo de solución que vamos a utilizar:
El ejemplo que vimos anteriormente en el que teníamos el caso de soluciones múltiples , el segmento estaba
comprendido entre dos vértices que era la región factible.
Ejemplo 1: Modelo de PL basado en la producción de sofás.
Aquí vamos a formular el modelo de este problema.
La función objetivo es una función de ganancia, que nos
interesa maximizar y la construimos de la siguiente
manera:
Utilizamos los precios unitarios de cada tipo de sofá y eso
lo multiplicamos por la cantidad de cada sofá, eso nos da
la función de ganancia .
Vamos con las restricciones, entonces recordemos que las restricciones, pueden ser estructurales y vinculadas a la
naturaleza de las variables de no negatividad.
Entonces las estructuradas están relacionadas con las disponibilidades , en este caso de cada uno de los
departamentos, dándonos las siguientes restricciones estructuradas:
Aquí presentamos de manera compacta todas las ecuaciones que se obtuvieron
y esto corresponde al modelo de PL para el problema de producción de sofás.
Ejemplo 2: Modelo de PL basado en la dieta de un caballo lusitano.
Ejemplo 2: Modelo de PL basado en la dieta de un caballo lusitano.
Aquí presentamos de manera compacta todas las ecuaciones que se obtuvieron
y esto corresponde al modelo de PL para el problema de la dieta de un caballo
lusitano
CONCLUSIONES
- La formulación de modelos matemáticos en Programación Lineal es esencial para representar
con precisión los problemas de optimización. Una formulación precisa garantiza que el
modelo refleje de manera fiel la realidad del problema, lo que facilita la búsqueda de
soluciones óptimas y la toma de decisiones informadas. - La habilidad para formular un problema en términos de Programación Lineal proporciona
flexibilidad al abordar una amplia variedad de situaciones del mundo real. Al expresar
problemas en términos de funciones lineales y restricciones, se facilita la aplicación de
técnicas eficientes de optimización, como el método simplex o el método de programación
lineal entera, permitiendo encontrar soluciones eficaces y escalables. - La formulación adecuada de modelos matemáticos en Programación Lineal no solo simplifica
el proceso de resolución, sino que también facilita la interpretación y la comunicación de los
resultados. Un modelo bien formulado permite a los tomadores de decisiones comprender
claramente las implicaciones de las soluciones propuestas, lo que es crucial para la
implementación exitosa de estrategias y la optimización de recursos en entornos
empresariales y organizacionales.
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