TENICAS DE CONTEO
Las Técnicas de conteo son utilizadas en Probabilidad y Estadística para determinar el número
total de resultados. En este capítulo analizamos: Regla de factoriales, Principio de multiplicación,
Principio aditivo, Permutaciones (simples, permutaciones circulares y con elementos repetidos),
Variaciones y Combinaciones.
1) FACTORIALES:
Definición: Sea n un número natural. Se llama factorial de n al producto de los n primeros
números naturales. La expresión n! se lee, n factorial. Es así que
n! = 1 · 2· 3 ·……..·(n-2) · (n-1) · n
Propiedades:
2) PRINCIPIO MULTIPLICATIVO:
Si un suceso ocurre de n1 maneras diferentes, el segundo suceso de n2 maneras diferentes y
así sucesivamente hasta la última alternativa que puede realizarse de nk maneras, entonces el
número total de maneras en que ocurre el suceso definido está dado por n1· n2 ·n3 ·…· nk
Ejemplo 1: Si tengo tres camisas, cinco pantalones y cuatro corbatas. ¿De cuántas maneras
distintas puedo combinar una camisa, un pantalón y una corbata?
Respuesta: (3· 5 · 4 ) = 60 maneras diferentes
Ejemplo 2: Un restaurant ofrece 4 entradas, 5 platos principales y 2 postres. ¿De cuántas formas
un cliente puede ordenar una comida?
Respuesta: Se aplica el principio de multiplicación, por lo tanto hay 4 x 5 x 2 formas diferentes de
ordenar una comida: 40 formas.
3) PRINCIPIO ADITIVO:
Si un suceso tiene formas alternativas de llevarse a cabo, donde la primera de esas alternativas
puede realizarse de m1 maneras, la segunda alternativa puede realizarse de m2 maneras, y así
sucesivamente, hasta la última que puede realizarse de mk maneras, entonces el número total de
maneras en que ocurre este suceso es m1 + m2 + m3 + …+ m
Ejemplo: Si me quiero comprar un automóvil, puedo elegir entre distintas marcas y modelos. La
marca A tiene 2 modelos y 3 colores, la marca B tiene 4 modelos y 5 colores disponibles. ¿De
cuántas maneras posibles puedo elegir un automóvil?
La respuesta a esta pregunta es de 26 maneras diferentes (2 · 3 + 4 · 5 = 6 + 20 = 26)
La marca A tiene 2 modelos y 3 colores por modelo (2·3 = 6 vehículos de la marca A)
La marca B tiene 4 modelos y 5 colores por modelo ( 4·5 = 20 vehículos de la marca B)
6 + 20 = 26 vehículos para elegir
4) PERMUTACIÓN:
Una permutación es cuando utilizamos todos los elementos del conjunto y los ordenamos
de distintas formas.
A) Permutación simple: El número de permutaciones de n elementos está dado por: P(n) = n!
Ejemplo 1: ¿Cuántas palabras distintas, con o sin sentido, se pueden formar con las letras de
la palabra GENIAL?
P(n) = n! P(6) = 6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720 palabras
Ejemplo 2: Una familia tiene 3 niños y 2 niñas.
a) ¿De cuántas formas pueden sentarse en una fila?
Respuesta: Hay 5! formas de sentarse = 5·4·3·2·1 = 120!
b) ¿Cuántas formas hay si los niños desean sentarse separados de las niñas?
Si desean sentarse separados, hay 2 formas de distribuirlos: HHHMM y MMHHH y en
cada caso los niños pueden sentarse de 3! formas diferentes y las niñas de 2! Por lo
que hay 3! x 2! x 2! Formas = (3·2·1)·(2·1)·(2·1) = 24 formas.
B) Permutación Circular: El número de permutaciones circulares de n elementos está dado por:
Po(n) = (n – 1)!
Ejemplo 1: ¿De cuántas maneras se pueden sentar 5 personas alrededor de una mesa
redonda?
Respuesta: Una persona puede sentarse en cualquier lugar, las otras 4 personas son las
que pueden organizarse de 4! Maneras diferentes.
Po(5) = (5 – 1)! = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24 maneras distintas.
Ejemplo 2: ¿Cuántas palabras distintas se pueden formar con las letras de la palabra
GENIAL , cuando no importa desde que letra comenzamos a leer la palabra. Es decir,
cuando por ejemplo GENIAL y LGENIA, ambas se lean de igual modo.
Respuesta: Po(6) = (6 – 1)! = 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120 palabras
C) Permutación con elementos repetidos: El número de permutaciones de n elementos,
cuando hay elementos repetidos, está dado por:
Ejemplo: ¿Cuántas palabras distintas se pueden formar con las letras de la palabra
MORALEJA?
Respuesta: De las 8 letras la “A” se repite 2 veces, entonces:
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5) VARIACIÓN:
Una variación es el proceso de encontrar cuántos grupos diferentes se pueden formar con n
elementos de modo que cada grupo tenga r elementos (r < n). La variación se diferencia de la
permutación, ya que aquí no utilizamos todos los elementos.
A) VARIACIÓN SIMPLE: La variación de n elementos tomados de r en r está dado por:
Ejemplo 1: ¿Cuántas palabras distintas de tres letras se pueden formar con las letras de la
palabra MARDONES?
Ejemplo2: ¿De cuántas formas se puede elegir un presidente, un secretario y un tesorero dentro de
un grupo de 10 personas?
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B) VARIACIÓN CON ELEMENTOS REPETIDOS: Misma definición anterior, pero en este caso los
elementos se pueden repetir
Ejemplo 1: ¿Cuántos números de tres dígitos se pueden formar con los primeros 6 números
naturales?
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6) COMBINACIONES:
Una combinación es el proceso de encontrar la cantidad de grupos que se pueden formar con n
elementos de modo que cada grupo tenga r elementos, no interesando el orden de éstos.
El número de combinaciones de n elementos tomados de r en r está dado por:
Ejemplo: ¿Cuántos grupos de 3 estudiantes se pueden formar con un total de 10 estudiantes?
Respuesta: Aquí no importa el orden, porque da lo mismo el grupo formado por ABC o BAC, es el
mismo grupo, pues son las mismas personas
Ejemplo 2: ¿Cuántos grupos de 4 letras se pueden formar con las letras de la palabra MARDONES?
Respuesta: No importa el orden, da lo mismo el grupo de letras MRDO que el grupo DROM
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7) COMBINACIONES CON ELEMENTOS REPETIDOS: Misma definición anterior, pero en este caso
los elementos pueden repetirse.
Ejemplo 1: En una bodega hay 4 tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir 3
de ellas?
Respuesta: Aquí se pueden elegir las tres botellas de un mismo tipo, o dos de un mismo tipo y una
diferente o las tres diferentes, entonces formaremos grupos en donde hay elementos repetidos.
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EJERCICIOS RESUELTOS:
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1) ¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente
y tesorero de un club de fútbol sabiendo que hay 12 posibles candidatos?
- Entran todos los elementos? NO
- Importa el orden? SÍ
- Se repiten los elementos? NO
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2) Con las letras de la palabra libro. ¿Cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que
empiecen por vocal?
- Entran todos los elementos? SÍ
- Importa el orden? SÍ
- Se repiten los elementos? NO
Hay dos vocales, entonces las palabras pueden empezar con “i” o con “o” (2 formas), si
ocupo una vocal tengo que ordenar las 4 letras restantes de 4! Maneras.
Por consiguiente, hay 2 ·4! = 2·(1·2·3·4) = 48 Maneras de ordenar las letras de modo que
comiencen con una de las dos vocales.
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3) ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en
tres?
- Entran todos los elementos? NO
- Importa el orden? NO
- Se repiten los elementos? NO
Entonces es una combinación:
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4) ¿Cuántos partidos distintos se pueden realizar dados cuatro equipos de futbol?
- Entran todos los elementos? NO
- Importa el orden? NO
- Se repiten los elementos? NO
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5) ¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares
{1, 3, 5, 7, 9}? ¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000?
P5 = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 números
Mayores de 70.000: tienen que comenzar necesariamente con 7 ó 9 (2 formas)
Total 48 números mayores de 70.000 = 2 · 4! = 2 · 4 · 3 · 2 · 1 = 48 números
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6) A una reunión asisten 10 personas y se
intercambian saludos entre todos.
¿Cuántos saludos se han intercambiado?
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7) Con las cifras 1, 2, 3
A) ¿Cuántos números de cinco cifras
pueden formarse?
Esta es una variación con repetición:
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8) ¿Cuántas apuestas de Loto han de
realizarse para asegurarse el acierto de
los seis resultados de 36 números?
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9) ¿De cuántas formas pueden colocarse los
11 jugadores de un equipo de fútbol
teniendo en cuenta que el portero no
puede ocupar otra posición distinta de la
portería mientras que los otros 10 pueden
jugar en cualquier otra posición que no sea
portero?
Los 10 jugadores pueden ocupar los 10
puestos distintos , P10 = 10! = 3.628.800
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10) Una mesa presidencial está formada por ocho personas. ¿De cuántas formas
distintas se pueden sentar, si el presidente
y el secretario siempre van juntos?
Al ir juntos el presidente y el secretario,
pasan a ser un solo cuerpo que se puede
ordenar de 2 maneras (ver dibujo).
Entonces se tienen sólo 7 objetos que
ordenar finalmente y no 8.
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11) ¿Cuántas diagonales tiene un pentágono y
cuántos triángulos se pueden formar con
sus vértices?
Una diagonal se forma uniendo 2 vértices
(𝐵𝐷̅̅̅̅ = 𝐷𝐵̅̅̅̅) por lo tanto es una combinación:
en este valor están incluidos la unión de dos
vértices consecutivos lo que no constituye una
diagonal, si no que un lado, por lo tanto hay
que restarle los 5 lados del pentágono:
10 – 5 = 5 diagonales
Un triángulo se forma uniendo tres vértices
(ΔABC =Δ BCA), también es una combinación:
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12) Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de dos hombres
y tres mujeres. De cuántas formas puede formarse, si:
A) Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer :
B) Una mujer determinada debe pertenecer al comité:
C) Dos hombres determinados no pueden estar en el comité:
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APUNTES PRACTICOS
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BIBLIOGRAFIA.
- Martínez, C & Levin, R. (2012). Estadística Aplicada, Primera Edición. Prentice Hall
- Newbold, P., Carlson, W. L., Thorne, B. M., & Toharia, L. (2008). Estadística para administración y economía. Pearson educación.
- Lind, D. A. (2015). Estadística aplicada a los negocios y la economía. McGraw Hill
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