LOGICA JUICIO, ORACIÓN Y PROPOSICIÓN
DIFERENCIAS ENTRE JUICIO, ORACIÓN Y PROPOSICIÓN
El juicio. - Es una relación o conjuntos de conceptos que se caracteriza por constituir una afirmación o aseveración de algo, es una forma, una estructura del pensamiento que objetivamente es verdadero o falso. (Astudillo, Dolores; Inciso, Liliana).
El enunciado. - Es la expresión verbal o escrita del juicio.
Ejemplos:
• Pedro es estudiante de la Universidad Nacional de Loja
• x + 2 = 7
• 3 + 2 = 5
No son enunciados:
• Las oraciones exclamativas. (Sentimientos, interjecciones). Ej.: ¡socorro!, ¡auxilio! ¡te quiero!
• Las oraciones imperativas. (Órdenes), Ej.: Cierra la puerta; te vas afuera.
• Las desiderativas. (Deseos, súplicas). Ej.: Ojala no haya clases.
• Las oraciones interrogativas. (Preguntas). Ej.: ¿Qué hora es?
Razonamiento. -Es un conjunto de afirmaciones o juicios relacionados de manera al que se supone que uno de ellos (llamado conclusión) se desprende o infiere del o los otros (llamados premisas). La pretensión de que la conclusión se deriva de las premisas se manifiesta a través de expresiones especiales como: por lo tanto, luego, por consiguiente, etc.
La
proposición.- Es un enunciado que
puede ser falso o verdadero, pero no ambas cosas a la vez. La proposición es un
elemento fundamental de la lógica matemática; generalmente se las expresa en
oraciones declarativas o aseverativas, tales como:
Oraciones
afirmativas. (Informan). Ej.: Mañana
es lunes.
Oraciones descriptivas. (Describen). Ej.: La tiza es blanca
Oraciones explicativas. (Explican). Ej.: Si hace frío entonces es invierno
A continuación se tienen algunos ejemplos de
proposiciones válidas y no válidas, y se explica el porqué algunos enunciados
no son proposiciones. Las proposiciones se indican por medio de una letra
minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha.
Ejemplo.
p La tierra es plana.
q -17 + 38 = 21
r x > y-9
s
t: Hola ¿como estas?
w Lava el coche por favor.
Los incisos p y q sabemos que pueden tomar un
valor de falso o verdadero; por lo tanto son proposiciones válidas. El inciso r también es una proposición válida,
aunque el valor de falso o verdadero depende del valor asignado a las variables
x y y en determinado momento. La proposición del inciso s, es válida Sin embargo los enunciados t y w no
son válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero, uno de ellos
es un saludo y el otro es una orden.
Valor
de verdad.- Una proposición es
verdadera o es falsa; si es verdadera se denotará por la letra “V” o el “
CLASES DE PROPOSICIONES:
Las proposiciones se clasifican en
proposiciones simples o atómicas y proposiciones compuestas o moleculares:
Proposiciones
simples.- Son aquellas proposiciones que no se pueden descomponer.
Ejemplo:
p: Todo organismo viviente se adapta a su medio
físico.
q: Si un número es divisible por 4 también lo
es por 2.
r: (a +b)2 = a2 + 2ab + b2
Proposiciones
compuestas o moleculares.- Son aquellos
enunciados que están formados por dos o más proposiciones simples y unidos por término
lógico.
Ejemplos:
p: La niña María canta y su hermano Luis toca
el piano.
q: Ecuador es un país Amazónico y
latinoamericano.
Podemos observar en los ejemplos anteriores que
tanto p como q están compuestas de dos proposiciones simples.
Los conectivos lógicos son elementos
gramaticales que unen dos o más proposiciones simples; estos son:
PROPOSICIONES
COMPUESTAS Y CONECTIVOS LÓGICOS
Los operadores lógicos también permiten formar
proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones). Los operadores o
conectores básicos son:
CONJUNCIÓN
( Ù ) QUE
SE LEE Y
Se utiliza para conectar dos proposiciones que
se deben cumplir para que se pueda obtener un resultado verdadero. Su símbolo Ù que se lee
“y”. Se lo conoce como la multiplicación
lógica y tiene estrecha relación con la intersección de conjuntos.
Ejemplo.
Sea el siguiente enunciado “El coche enciende
cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la batería”. Simbolizando tenemos:
p: el conche enciende cuando tiene gasolina en
el tanque
q: tiene corriente la batería.
V(p) = V
V(q) = V
En consecuencia:
V(p q) = V
Otro ejemplo:
3 + 4 = 6 y 3 + 7 = 10
p: 3 + 4 = 6 V(p)
= F
q: 3 + 7 = 10 V(q)
= V
Por consiguiente:
V (p q) = F
De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica es como sigue:
Es la unión de dos proposiciones simples con el
conectivo lógico “o”. Simbólicamente se lo representa así: pÚ q que se lee p ó q o ambas. El enunciado es verdadero cuando alguna de
las proposiciones es verdadera o ambas son verdaderas; Se conoce también como la suma lógica y se
relaciona estrechamente con la unión de conjuntos.
Ejemplos:
Sea el siguiente enunciado “Una persona puede
entrar al cine si compra su boleto u obtiene un pase”. Donde.
p: Una persona puede entrar al cine si se
compra su boleto.
q: Obtiene su pase.
Simbólicamente tenemos:
p Ú q
V( p ) = V
V( q ) = V
En consecuencia: V (p Ú q) = V
4 + 3 = 9 o 3 + 5 = 8
p: 4 + 3 = 9 V
( p) = F
q: 3 + 5 = 8 V
(q ) = V
En consecuencia: V (p Ú q) = V
Su tabla de verdad es:
DISYUNCIÓN
EXCLUSIVA.- ( V ) QUE SE LEE O EN
SENTIDO EXCLUYENTE
El enunciado es verdadera cuando p es verdadero
y q es falso o viceversa. Simbólicamente se lo representa por p Ú q que se lee p o q pero no ambas.
Ejemplos:
Carmen es hija de José ó de Vicente
Simbólicamente tenemos:
p: Carmen es hija de José V(p) = V
q: Carmen es hija de Vicente V (q) = V
En consecuencia: V (p Ú q) = F
(p Ú q) que se lee: p ó q, pero no ambas.
El enunciado es verdadero cuando las proposiciones
simples que la forman son falsas.
La conjunción negativa de dos proposiciones p y
q, se representa por “p q” o por p
q se lee: ni p, ni q
Ejemplos:
“ni 3 +
2 = 5, ni 2 + 4 =
Simbólicamente tenemos:
p q
p: 3 + 2 = 5 V
(p) = V
q: 2 + 4 = 6 V
(q) = V
Consecuentemente tenemos que:
V (p
q)
= F
Ø p: 3 + 2 ¹ 5 V (Ø p) = F
Ø q: 2 + 4 ¹ 6 V (Ø q) = F;
Consecuentemente:
V (Ø p Ù Ø q) = F
Entonces se deduce que:
(p q) 
(Ø p Ù Ø q )
Su tabla de verdad es:
|
p |
q |
( p |
|
V |
V |
F |
DISYUNCIÓN
NEGATIVA:
El enunciado es falso cuando las proposiciones
simples que la forman son verdaderas. La disyunción negativa de proporciones se representa por p / q; que se lee no ó no q.
Ejemplo:
No eres pintor o no eres artista p / q
p: eres artista V (p) = V
q: eres pintor V ( q) = V
En consecuencia:
V (p / q) = F
Ø p: no eres artista V (Øp) = F
Ø q: no eres pintor V (Øq ) = F
Consecuentemente:
V (Øp Ú Øq) = F
Luego: p
/ q (Øp Ú Øq )
Su tabla de verdad es:
|
p |
q |
( p / q ) |
|
V |
V |
F V V V |
DISYUNCIÓN
NEGATIVA:
El enunciado es falso cuando las proposiciones
simples que la forman son verdaderas. La disyunción negativa de proporciones se representa por p / q; que se lee no ó no q.
Ejemplo:
No eres pintor o no eres artista p / q
p: eres artista V (p) = V
q: eres pintor V ( q) = V
En consecuencia:
V (p / q) = F
Ø p: no eres artista V (Øp) = F
Ø q: no eres pintor V (Øq ) = F
Consecuentemente:
V (Øp Ú Øq) = F
Luego: p
/ q (Øp Ú Øq )
Su tabla de verdad es:
|
p |
q |
( p / q ) |
|
V |
V |
F V V V |
Negación
( Ø ) no
Su función es negar la proposición. Esto
significa que sí alguna proposición es verdadera y se le aplica el operador no
se obtendrá su complemento o negación (falso). Al negar una proposición simple,
se transforma en una proposición compuesta Este operador se indica por medio de
los siguientes símbolos: (~, Ø ) Ejemplo.
Ejemplos:
p: Patricio está estudiando
en la sala V (p) = V
Ø p: Patricio no esta
estudiando en la sala. V (Ø p) = F
q: María es novia de Iván V (q) = F
Ø q: No es cierto que
María es novia de Iván V (Øq) = V
Su tabla de verdad es:
|
p |
Ø p |
|
V |
F |
A veces
la negación de una proposición simple se obtiene mediante otra
proposición simple, así:
p: x es mortal
Øp: x es inmortal
q: y es par
Øq: y es impar
La negación en matemáticas se realiza así:
p: 2 + 3 = 5 V (p) = V
Øp: 2 + 3 ¹ 5 V (Øp) = F
NEGACIÓN
DE PROPOSICIONES COMPUESTAS:
Se puede también utilizar otras formas de negar
como: no es el caso que; no es cierto que, (frecuentemente se acostumbra a
utilizar esta forma cuando se niegan proposiciones compuestas)
No es el caso que: 3 < 2 y 4 + 1 = 5;
simbólicamente tenemos: Ø ( p Ùq )
No es cierto que: 3 < 2 y 4 + 1 = 5;
simbólicamente tenemos: Ø ( p Ùq )
p: 3 < 2 V (p) = F
q: 4 + 1 = 5 V
(q) = V
Consecuentemente:
V Ø ( p Ù q ) = V
PROPOSICIONES CONDICIONALES (Þ ) que se lee “entonces”
Una proposición condicional, es aquella que está formada por dos proposiciones simples (o compuesta) p y q. La cual se indica de la siguiente manera: Þ que se lee “si p, entonces q; simbólicamente se la representa por:
Se lee “Si p, entonces q”
Si p, q
p Þ q p, sólo si q
p es
necesario para q; etc. En este caso p: es el antecedente y q: es el
consecuente.
Se lee:
q puesto que p
q,
si p
q
cuando p
q Þ p q cada vez que p
q dado que p
q porque p
q ya que p;
etc. Se caracterizan porque después de cada uno de estos conectivos está el antecedente o condición.
Ejemplo: Simbolice y determine el valor de
verdad:
Un candidato a presidente del Ecuador dice: “Si
salgo electo presidente de
p: Si salgo electo
Presidente de la República del Ecuador V
(p) = V
q: Recibirán un 50% de
aumento en su sueldo el próximo año V (q)
= V
De tal manera que el enunciado se puede
expresar de la siguiente manera: p Þ q
El V( p
Þ q ) = V
Otro ejemplo:
5+7=12 Þ8- 5 = 4 ;
Simbólicamente tenemos: p Þ q
p: 5 + 7 = 12
V( p) = V
q: 8 – 5 = 4 V( q ) = F
Su valor de verdad es: V (p Þ q ) = F
Su tabla de verdad es:
|
p |
q |
p Þ q |
|
V V F F |
V F |
V |
Esto significa
que una proposición condicional es falsa cuando p = V y q = F; en los
demás casos será verdadera.
VARIANTES
DE
A toda proposición condicional se le asocia
tres proposiciones igualmente
importantes, que son: proposición recíproca, inversa y contra recíproca.
Proposición
recíproca.- Dada la proposición condicional “p Þ q “, se llama
proposición recíproca a la proposición que se denota por: “q Þ p”
Ejemplo:
Si y es par, entonces, y es múltiplo de 2 ;
simbólicamente: p Þ q. Condicional
Si y es múltiplo de 2, entonces, y es par ;
simbólicamente: p Þ q. Su recíproca:
Si b es perpendicular a c, entonces c es
perpendicular a b.
La proposición anterior simbólicamente la
denotamos por “p Þ q”; mientras que la
proposición recíproca será: “q Þ p”.
c es perpendicular a b, si b es perpendicular a c.
Proposición inversa. - Dada la
proposición condicional “p Þ q “, se llama
proposición inversa a la proposición que se denota por: “Ø p Þ Ø q”.
Ejemplo: Si Juan consigue la beca, entonces
viajará a Francia; simbólicamente tenemos:
p Þ q
La proposición inversa será: "Ø p Þ Ø q”, será:
Si Juan no consigue la beca, entonces no
viajará a Francia.. Simbólicamente
tenemos: "Ø p Þ Ø q
Proposición contra recíproca.- Dada la proposición condicional: “p Þ q”, se denomina proposición contra recíproca a
la que se denota por: Ø q Þ Ø p.
Ejemplo:
Si vivo en Cariamanga, vivo en la provincia de
Loja; simbólicamente: p Þ q
PROPOSICIÓN
BICONDICIONAL: ( Û ), QUE SE LEE “SI Y SÓLO SI”
Sean p y q dos proposiciones simples entonces
se puede indicar la proposición bicondicional de la siguiente manera: p Û q; que se lee “p si y
solo si q”
Esto significa que p es verdadera si y solo si q es también
verdadera. O bien p es falsa si y solo si q también es falsa. Ejemplo; el
enunciado siguiente es una proposición bicondicional
“Luis es buen estudiante, si y solo si; tiene
promedio de diez”
Simbólicamente tenemos:
p: Luís es buen estudiante V (p) = V
q: Tiene promedio de diez. V (q) = V
Por consiguiente: V (p Û q) = V
Su tabla de verdad es:
|
p |
q |
p Û q |
|
V V F F |
V F |
V |
La proposición bicondicional solamente es
verdadera si tanto p como q son falsas o bien ambas verdaderas.
La proposición bicondicional, también se forma por la conjunción de una
proposición condicional y su recíproca, simbólicamente tememos:
p Û q = p Þ q Ù q Þ p
Ejemplo: Juan viajará a la ciudad de Cuenca si
y sólo si obtiene un préstamo en el Banco de Loja; Simbólicamente tenemos: q Þ p
Equivale a decir: Si Juan viaja a la ciudad de Cuenca, entonces obtiene un
préstamo en el Banco de Loja, y si obtiene un préstamo en el Banco de Loja
viajará a la ciudad de Cuenca. Simbólicamente tenemos: = p Þ q Ù q Þ p
Por lo tanto la primera y segunda proposición
son iguales:
p Û q = p Þ q Ù q Þ p
SIGNOS
DE PUNTUACIÓN, AGRUPACIÓN Y ORDEN DE LOS
OPERADORES O CONECTIVOS LÓGICOS
Los signos de agrupación más conocidos tenemos:
el paréntesis, corchete y llaves
( ); [ ]
; {}
Estos signos reemplazan a los signos
gramaticales: punto (.), la coma (,), el punto y como (;), y los dos puntos (:).
Los signos de agrupación se usan en lógica
cuando se trata de obtener esquemas lógicos más complejos con el fin de evitar
la ambigüedad de las fórmulas:
1.
Si las proposiciones tienen el mismo tipo de operador o conectivo
lógico, se debe colocar los paréntesis de izquierda a derecha así:
p Ù q Ú r = (p Ù
q) Ú r
p Ù q Ú r Ú s = [(p Ù q) Ú r ] Ú s
p Þ q Þ r Þ s = [(p Þ q) Þ r] Þ s
1.
Si no hay signos de puntuación ni paréntesis se debe considerar el
siguiente orden de menor a mayor jerarquía de los operadores y de izquierda a
derecha, para ubicar los paréntesis.
Ejemplos:
p Ù q Þ r = (p Ù q) Þ r
p Ù q Þ r v
s = (p Ù q) Þ (r
v s )
p Þ q Û r Ù s = (p Þ q) Û (r Ù s)
En la proposición compuesta: p Ú q el conector principal es Ú
En la proposición compuesta: p Þ ( p Ú r) el conector
principal es Þ
En la proposición compuesta: [ ( p Þ q) Û (r Ù s)] el conector
principal es Û
Como podemos darnos cuenta, que los signos de
puntuación permiten, entre otras cosas, identificar en una proposición
compuesta el CONECTOR DOMINANTE O CONECTOR PRINCIPAL O EL DE MAYOR JERARQUÍA
Debemos
recordar que un esquema molecular es la combinación de las variables,
operadores lógicos y los signos de agrupación.
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