LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL
LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL
En lógica, las tautologías son conocidas con el
nombre de leyes o principios lógicos. A continuación anotamos las principales
leyes que vamos a utilizarlos en el
futuro y que usted de familiarizarse:
L- 1: Leyes de Idempotencia para Ù y para Ú
|
Si p es una proposición simple o compuesta, entonces:
|
Según estas leyes, las proporciones ( p Ú p) o (p Ù p) pueden
sustituirse por p.
L – 2:
Leyes de Identidad para Ù y para Ú
|
Si p es una proposición
simple o compuesta, entonces: a) p Ú ( V ) º ( V ); es decir, cuando
formamos la disyunción de una proporción p, cuyo valor de verdad es
desconocido, con otra cuyo valor de verdad de ( V ), el resultado es ( V ),
ya que la disyunción es ( V ) cuando
al menos una de las proposiciones dadas es verdadera. b) p Ú ( F ) º p; es decir, el valor de verdad de la disyunción de una
proposición p, cuyo valor de verdad no conocemos, con otra cuyo valor de
verdad es ( F ), depende del valor de p. c) p Ù ( V ) º p; en este caso el análisis es similar a la parte b), teniendo
en cuenta que aquí el conector es d) p Ù ( F ) º ( F ); el análisis es similar al de la parte a), teniendo en cuenta
aquí que el conector es Ù |
L- 3: Leyes Conmutativas Ù y para Ú
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Si p y q son proposiciones, entonces: a) ( p Ú q ) º ( q Ú p ) b) (p Ù q ) º (q Ù p), es decir, dos proporciones conectadas con Ú Ù pueden escribirse en cualquier orden. |
L
- 4: Leyes Asociativas
|
Si p, q, , son proposiciones cualesquiera, entonces: a) ( p Ù ( q Ù r) º (p Ù q ) Ù r b) (p Ú (q Ú r) º (p Ú q) Ú r |
L– 5: Leyes Distributivas:
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Si p, q, r son proposiciones cualesquiera, entonces. c) [ p Ù ( q Ú r ) ] º [ ( p Ù q ) Ú ( p Ù r )] d) [ p Ú ( q Ù r ) ] º[ ( p Ú q ) Ù ( p Ú r )] |
Estas leyes son similares a las que conocemos en
el álgebra para la suma y la multiplicación. Recordemos que:
4( x + y ) = (4x) + ( 4y)
L – 6: Ley de
|
Si p es una proposición simple cualquiera, entonces: Ø ( Ø p ) º p |
Al negar dos veces una proposición obtenemos
una afirmación.
L – 7: Ley del Tercer Excluido:
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Si p es una proposición cualesquiera, entonces: ( p Ú Ø p) º ( V ) |
Esta propiedad establece que independientemente
del valor de verdad que tenga p, la proposición: (p Ú Ø p) siempre es
verdadera. Por tanto, en un esquema
lógico complejo podemos reemplazar (p Ú Ø p), (q Ú Ø q), (r Ú Ø r), (a Þ b) Ú Ø (a Þ b), etc., por (Ú).
L – 8: Ley de Contradicción:
|
Si p es una proposición cualesquiera, entonces: ( p Ù Ø p ) º ( F ) |
Esquemas como (p Ù Ø p), (q Ù Ø q), (r Ù Ø r) pueden
remplazarse por (F)
L – 9: Leyes de De Morgan:
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Si p, q son proposiciones simples o compuestas, entonces: e) Ø ( p Ù q ) º ( Ø p Ú Ø q ) f) Ø ( p Ú q ) º ( Ø p Ù Ø q ) |
Estas leyes nos indican cómo negar una
disyunción y una conjunción. La parte:
a) establece que para negar una conjunción es necesario cambiar la conjunción
por disyunción (Ù por Ú) y negar las
proposiciones dadas.
La parte b) establece que para negar una
disyunción debemos cambiar la disyunción por la conjunción (la Ù por Ú) y negar las proposiciones dadas.
Ejemplo:
Negar la proposición: “7 es un número primo y
30 es divisible por
Solución:
Cambiamos “y” por “o” y negamos las
proposiciones simples que forman el enunciado,
así:
“7 no es un número primo o 30 no es divisible
por
L– 10: Ley de la
condicional:
|
Usando tablas de verdad podemos verificar que: p Þ q
equivale a Ø p Ú q . La proposición p Þ q es una abreviación de la proposición Ø p Ú q; es decir: |
NOTA: Son muchos los esquemas lógicos que
ofrecen alguna complejidad y pueden simplificarse utilizando esta definición
alterna del condicional.
Ejemplo
1:
Escribamos sin condicional las proposiciones
siguientes:
- (
p Ù q)
Þ
r
- p
Þ ( Ø q Ú Ø )
- Ø p Þ Ø q
SOLUCIÓN:
- [ (p Ù q ) Þ r ] º Ø ( p Ù q ) Ú r
- [ p Þ ( Ø q Ú Ø r ) ] º Ø p Ú ( Ø q Ú Ø r )
- (
Ø p Þ Ø q ) º Ø ( Ø p ) Ú Øq º p Ú ( Ø q )
Ejemplo
2:
Escribamos una proposición equivalente a:
“Si X es par entonces x es divisible por
SOLUCIÓN:
Usando la definición alterna de la implicación tenemos:
“x no es par o x no es divisible por
Ejemplo
3:
Comprobemos que ( p Þ q) º ( Ø p Ú q)
SOLUCIÓN:
Elaboramos la tabla de verdad:
|
p |
q |
Ø p |
( p Þ q)
Û (Ø p Ú q) |
|
V V F F |
V F V F |
F F V V |
V V V F V F V V V V V V (1) (3) (2) |
L-
11 Ley de
p Û q º ( p Þ q ) Ù ( q Þ p )
L-
12 Conjunción Negativa.-
p ¯ q º Ø p Ù Ø q
L-13 Disyunción Exclusiva.-
p Ú q º ( p Ú q ) Ù Ø ( p Ù q )
Ejercicios: Demuestre las leyes mediante el uso
de las tablas de verdad.
APLICACIONES
DE LAS LEYES DEL ALGEBRA PROPOSICIONAL
Las leyes nos pueden servir para demostrar que
un esquema es equivalente a otro, también podemos utilizar en la simplificación
de proposiciones etc.
Ejemplo
1:
Probemos que Ø ( p Þ q ) º [ p Ù Ø q )]
SOLUCIÓN:
1.
Ø ( P Þ Q ) Û Ø [( p )Ø Ú q ] Definición alterna de implicación
2.
Û Ø (Ø p) Ù Ø ( q ) Ley de De Morgan para Ú
3.
Û p Ù (Ø q) Ley de
Luego: Ø ( p Þ q ) º [ p Ù (Øq)]
Ejemplo
2:
Probemos que la proposición ( p Ù q) Þ p es una
tautología.
SOLUCIÓN:
- [ ( p Ù q ) Þ p ] Û Ø ( p Ù q ) Ú p Definición alterna de Þ
- Û ( Ø p Ú Ø q) Ú p Ley de De Morgan para Ù
- Û ( Ø p Ú p ) Ú ( Ø q) Ley Asociativa de la Ú
- Û ( V ) Ú ( Ø q ) Ley del Tercer excluido
- Û ( V ) Ley
Idéntica de la Ú
Por lo tanto, al ser [( p Ù q ) Þ p] º ( V ), concluimos que es una tautología.
Ejemplos:
1.
Probemos que la proposición [ ( p Þ q) Ù ( Ø q)] Þ ( Ø p) es una
tautología.
2.
Probemos que la siguiente proposición es una contradicción:
Ø [Ø (Ø p Ù q ) Ú ( Ø p Ú q ) ] Û Ø [ Ø ( Ø p Ù q ) ] Ù Ø ( Ø p Ú q )
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