EVENTOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES
Eventos Independientes:
Definición: Dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de que ocurra el otro.
Ejemplo: Lanzar una moneda dos veces. El resultado del primer lanzamiento no afecta el resultado del segundo lanzamiento.
Fórmula: La probabilidad de que ocurran dos eventos independientes A y B se calcula multiplicando sus probabilidades individuales: P(A y B) = P(A) * P(B)
Eventos Dependientes:
Definición: Dos eventos son dependientes si la ocurrencia de uno afecta la probabilidad de que ocurra el otro.
Ejemplo: Sacar una carta de una baraja y luego sacar otra sin reemplazar la primera. La probabilidad de sacar una segunda carta depende de la carta que se sacó en primer lugar.
Fórmula: La probabilidad de que ocurran dos eventos dependientes A y B se calcula multiplicando la probabilidad de A por la probabilidad de B dado que A ya ocurrió: P(A y B) = P(A) * P(B|A)
Donde:
P(B|A) representa la probabilidad de que ocurra B dado que A ya ocurrió (probabilidad condicional).
En resumen:
Eventos independientes: La ocurrencia de uno no afecta la probabilidad del otro.
Eventos dependientes: La ocurrencia de uno sí afecta la probabilidad del otro.
Ejemplo práctico:
Imagina que tienes una bolsa con 5 bolas rojas y 5 bolas azules. Sacas una bola al azar.
Evento A: Sacar una bola roja.
Evento B: Sacar una bola azul.
Si reemplazas la primera bola: Los eventos A y B son independientes. La probabilidad de sacar una bola roja en el segundo intento sigue siendo la misma (5/10).
Si no reemplazas la primera bola: Los eventos A y B son dependientes. Si sacas una bola roja en el primer intento, la probabilidad de sacar otra bola roja en el segundo intento disminuye a 4/9.
***********************************************************************************
Regla de Multiplicación:
La regla de multiplicación establece que la probabilidad de que ocurran dos eventos, A y B, uno después del otro, es igual al producto de la probabilidad del primer evento (A) y la probabilidad del segundo evento (B) dado que el primer evento ya ocurrió.
En forma matemática:
P(A y B) = P(A) * P(B|A)
Donde:
P(A y B) representa la probabilidad de que ocurran A y B.
P(A) representa la probabilidad de que ocurra A.
P(B|A) representa la probabilidad de que ocurra B dado que A ya ocurrió (probabilidad condicional).
Casos especiales:
Eventos independientes: Si A y B son independientes, entonces la ocurrencia de A no afecta la probabilidad de B. En este caso, P(B|A) = P(B). La regla de multiplicación se simplifica a: P(A y B) = P(A) * P(B)
Ejemplo:
Imagina que tienes una caja con 3 bolas rojas y 2 bolas azules. Sacas una bola al azar y luego, sin reemplazar la primera, sacas otra bola.
Evento A: Sacar una bola roja en el primer intento.
Evento B: Sacar una bola azul en el segundo intento.
P(A) = 3/5 (hay 3 bolas rojas de 5 totales)
P(B|A) = 2/4 (después de sacar una bola roja, quedan 2 bolas azules de 4 totales)
Por lo tanto, la probabilidad de sacar una bola roja y luego una bola azul es:
P(A y B) = P(A) * P(B|A) = (3/5) * (2/4) = 3/10
***********************************************************************************
PROBABILIDAD CONDICIONAL
La probabilidad condicional es un concepto fundamental en la teoría de la probabilidad. Se refiere a la probabilidad de que ocurra un evento, dado que otro evento ya ha ocurrido.
En otras palabras, la probabilidad condicional nos ayuda a entender cómo la ocurrencia de un evento afecta la probabilidad de otro evento.
Por ejemplo, si lanzamos una moneda dos veces, la probabilidad de obtener cara en el segundo lanzamiento es 1/2, independientemente del resultado del primer lanzamiento. Sin embargo, si sabemos que el primer lanzamiento fue cara, la probabilidad de obtener cara en el segundo lanzamiento se reduce a 0.
La probabilidad condicional se representa mediante la siguiente fórmula:
P(A|B) = P(A y B) / P(B)
Donde:
P(A|B) es la probabilidad de que ocurra A dado que B ya ocurrió.
P(A y B) es la probabilidad de que ocurran A y B.
P(B) es la probabilidad de que ocurra B.
***********************************************************************************
RECONOCER EVENTOS DEPEDIENTES E INDEPENDIENTESURL
Eventos Independientes:
Definición: Dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de que ocurra el otro.
Ejemplo: Lanzar una moneda dos veces. El resultado del primer lanzamiento no afecta el resultado del segundo lanzamiento.
Características:
La probabilidad de que ocurran ambos eventos es el producto de las probabilidades individuales.
La probabilidad de que ocurra un evento, dado que el otro ya ocurrió, es igual a la probabilidad del
primer evento.
Eventos Dependientes:
Definición: Dos eventos son dependientes si la ocurrencia de uno sí afecta la probabilidad de que ocurra el otro.
Ejemplo: Sacar una carta de una baraja y luego otra sin reemplazar la primera. El resultado del primer evento afecta las cartas que quedan en la baraja, y por lo tanto, afecta la probabilidad del segundo evento.
Características:
La probabilidad de que ocurran ambos eventos es el producto de la probabilidad del primer evento y la probabilidad del segundo evento dado que el primero ya ocurrió.
La probabilidad de que ocurra un evento, dado que el otro ya ocurrió, es diferente a la probabilidad del primer evento.
Para reconocer si dos eventos son dependientes o independientes, pregúntate:
¿Afecta el resultado del primer evento al resultado del segundo evento? Si la respuesta es sí, los eventos son dependientes. Si la respuesta es no, los eventos son independientes.
***********************************************************************************
PROBABILIDADES EN EVENTOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES
Eventos Independiente:
Probabilidad de que ocurran ambos eventos: Para calcular la probabilidad de que ocurran dos eventos independientes, simplemente multiplicamos las probabilidades individuales de cada evento.
Ejemplo: Si lanzamos una moneda dos veces, la probabilidad de obtener cara en el primer lanzamiento es 1/2 y la probabilidad de obtener cara en el segundo lanzamiento es también 1/2. La probabilidad de obtener cara en ambos lanzamientos es (1/2) * (1/2) = 1/4.
Probabilidad de que ocurra un evento dado que el otro ya ocurrió: La probabilidad de que ocurra un evento independiente, dado que el otro ya ocurrió, es igual a la probabilidad del primer evento.
Ejemplo: Si lanzamos una moneda dos veces, la probabilidad de obtener cara en el segundo lanzamiento es 1/2, independientemente del resultado del primer lanzamiento.
Eventos Dependientes:
Probabilidad de que ocurran ambos eventos: Para calcular la probabilidad de que ocurran dos eventos dependientes, multiplicamos la probabilidad del primer evento por la probabilidad del segundo evento dado que el primero ya ocurrió.
Ejemplo: Si sacamos una carta de una baraja de 52 cartas y luego sacamos otra sin reemplazar la primera, la probabilidad de sacar un as en el primer intento es 4/52 = 1/13. La probabilidad de sacar otro as en el segundo intento, dado que ya sacamos un as en el primer intento, es 3/51. Entonces, la probabilidad de sacar dos ases consecutivos es (1/13) * (3/51) = 1/221.
Probabilidad de que ocurra un evento dado que el otro ya ocurrió: La probabilidad de que ocurra un evento dependiente, dado que el otro ya ocurrió, es diferente a la probabilidad del primer evento.
Ejemplo: En el ejemplo anterior, la probabilidad de sacar un as en el segundo intento, dado que ya sacamos un as en el primer intento, es 3/51, que es diferente a la probabilidad de sacar un as en el primer intento, que era 1/13.
Recuerda: La clave para calcular las probabilidades en eventos dependientes es tener en cuenta cómo el resultado del primer evento afecta la probabilidad del segundo evento.
***********************************************************************************
PROB. CONJUNTA Y CONDICIONAL
Probabilidad Conjunta:
Definición: La probabilidad conjunta de dos eventos, A y B, es la probabilidad de que ambos eventos ocurran simultáneamente. Se denota como P(A y B).
Fórmula: Para eventos independientes, la probabilidad conjunta se calcula multiplicando las probabilidades individuales de cada evento: P(A y B) = P(A) * P(B).
Ejemplo: Si lanzamos una moneda dos veces, la probabilidad conjunta de obtener cara en el primer lanzamiento y cara en el segundo lanzamiento es P(Cara y Cara) = P(Cara) * P(Cara) = (1/2) * (1/2) = 1/4.
Probabilidad Condicional:
Definición: La probabilidad condicional de un evento B, dado que el evento A ya ocurrió, se denota como P(B|A) y se lee como "la probabilidad de B dado A".
Fórmula: La probabilidad condicional se calcula como la probabilidad conjunta de A y B dividida por la probabilidad de A: P(B|A) = P(A y B) / P(A).
Ejemplo: Si sacamos una carta de una baraja de 52 cartas y luego sacamos otra sin reemplazar la primera, la probabilidad condicional de sacar un as en el segundo intento, dado que ya sacamos un as en el primer intento, es P(As en el segundo intento | As en el primer intento) = P(As en el primer intento y As en el segundo intento) / P(As en el primer intento) = (3/51) / (1/13) = 3/51 * 13/1 = 3/4.
Relación con eventos dependientes e independientes:
Eventos independientes: Si dos eventos son independientes, la probabilidad condicional de un evento dado que el otro ya ocurrió es igual a la probabilidad del primer evento. Es decir, P(B|A) = P(B).
Eventos dependientes: Si dos eventos son dependientes, la probabilidad condicional de un evento dado que el otro ya ocurrió es diferente a la probabilidad del primer evento. Es decir, P(B|A) ≠ P(B).
En resumen:
La probabilidad conjunta mide la probabilidad de que dos eventos ocurran simultáneamente.
La probabilidad condicional mide la probabilidad de un evento dado que otro evento ya ocurrió.
Ambas probabilidades están estrechamente relacionadas con los eventos dependientes e independientes.
***********************************************************************************
APUNTES PRACTICOS
***********************************************************************************
BIBLIOGRAFIA
Martínez, C & Levin, R. (2012). Estadística Aplicada, Primera Edición. Prentice Hall
Newbold, P., Carlson, W. L., Thorne, B. M., & Toharia, L. (2008). Estadística para administración y economía. Pearson educación.
Lind, D. A. (2015). Estadística aplicada a los negocios y la economía. McGraw Hill
Comentarios
Publicar un comentario