CÁLCULO PROPOSICIONAL

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CÁLCULO PROPOSICIONAL


VALORES DE VERDAD DE PROPOSICIONES COMPUESTAS

 

Hay dos formas de  establecer los valores de verdad:

 

1.  Por medio  de las tablas de verdad

 

Las tablas de verdad permiten determinar el valor de verdad de una proposición compuesta y depende de las proposiciones simples y de los operadores que contengan.

 

Es posible que no se conozca un valor de verdad específico para cada proposición; es este caso es necesario elaborar una tabla de verdad que nos indique todas las diferentes combinaciones de valores de verdad que pueden presentarse.  Las posibilidades de combinar valores de verdad dependen del número de proposiciones dadas.

 

Para una proposición (n = 1), tenemos 21 = 2 combinaciones

Para dos proposiciones (n = 2), tenemos 22  = 4 combinaciones

Para tres proposiciones (n = 3), tenemos 2 3 = 8 combinaciones

Para n proposiciones tenemos 2n combinaciones

 

Ejemplo: dado el siguiente esquema molecular, construir su tabla de valores de verdad:

 

Pasos para construir la tabla:

 

            (Ø p Ù q)  Û (p Þ Ør)

 

1.    Determinamos sus valores de verdad 2 3 = 8 combinaciones

 

2.    Determinamos las combinaciones:

                                        

p

q

r

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

F

F

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

F

1.    Adjuntamos a éste cuadro el esquema molecular y colocamos debajo de cada   una de la variables sus valores de verdad :



6.   Aplicamos la bicondicional 

 

( Ø p

Ù

q  )

Û

( p

Þ

Ø r )

El operador de mayor jerarquía es el que determina los valores de verdad del esquema molecular.

2.-  Por medio del diagrama de árbol.-

 

Es un procedimiento corto y fácil, se  necesita conocer los valores de verdad de cada variable y aplicar las tablas de certeza lógica:

 

Ejemplos:

 

a.  Sabiendo que p es falsa, q es verdadera y r es verdadera.  Cuál es el valor de verdad de la proposición q  Þ (p Ù r).

Solución:


Luego la proposición: q  Þ (p Ù r),  es falsa.                         

 

b.  Dado el siguiente esquema molecular:

( Ø p Ù q) Û (p Þ Ø r)

 

Si: “p” es falsa “q” es verdadera y “r” es verdadera.  El conector dominante es el bicondicional  encontrar el valor de verdad del esquema por medio del diagrama del árbol:

 

Solución:

 

Luego la proposición: ( Ø p Ù q) Û (p Þ Ø r) es verdadera

CONTINGENTES, TAUTOLOGÍAS Y CONTRADICCIONES

 

Los esquemas moleculares se clasifican según el resultado que se obtenga en el operador de mayor jerarquía, pueden ser:

 

CONTINGENTES

 

Cuando en su resultado hay por lo menos una verdad y una falsedad Ejemplo: dado el siguiente esquema:      ( Ø p Ù q)  Û (p Þ Ø  r)

 

 

p

q

r

( Ø p

Ù

q  )

Û

( p

Þ

Ø r )

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

F

F

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

F

F

F

F

F

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

F

F

V

V

F

F

V

V

F

F

V

F

V

F

V

V

F

F

V

V

V

V

F

F

F

F

 

 

 

 

 

 

 

 

F

V

F

V

V

V

V

V

F

V

F

V

F

V

F

V

El esquema es contingente

 

 

TAUTOLOGÍA

 

Es una proposición que siempre es verdadera, independientemente del valor lógico de las proposiciones  simples que la componen..

 

Se puede decir también  que un esquema es un tautológico cuando los valores de verdad del operador principal son todos verdaderos.

 

Ejemplo

 

Si p y q son proporciones simples distintas, demuestre mediante tablas de certeza que el siguiente esquema proposicional es una tautología.

 

 

(p Ù q) Þ (p Û q)

 

p

q

(  p      Ù      q  )     Þ     (   p      Û       q  )

V

V

F

F

V

F

V

F

V

V

F

F

V

F

F

F

V

F

V

F

V

V

V

V

V

V

F

F

V

F

F

V

V

F

V

F

 

Es un esquema tautológico


CONTRADICCIÓN

 

Es cuando en el resultado todos los valores de verdad son falsos  o Un esquema A es una contradicción si “no A” ( Ø A), es una contradicción cuando todos los valores  del operador de mayor jerarquía son falsos.

 

Indeterminación: es la sentencia que ni es verdadera ni falsa.

 

Ejemplo: Dado el siguiente esquema molecular:

[( Ø p Ù q)  Þ  Ø r ] Þ [ r Ù Ø ( p Ú Ø q )], determinar si se trata de una contradicción:

 

 

p

q

r

[(Ø p      Ù         q )    Þ   Ø r ]    Þ     [ r      Ù   Ø (   p     Ú    Ø q )]

V

V

V

V

F

F

F

F

 

1

V

V

F

F

V

V

F

F

 

2

V

F

V

F

V

F

V

F

 

3

F

F

F

F

V

V

V

V

 

4

F

F

F

F

V

V

F

F

 

10

V

V

F

F

V

V

F

F

 

5

V

V

V

V

F

V

V

V

 

11

F

V

F

V

F

V

F

V

 

6

F

F

F

F

V

F

F

F

 

15

V

F

V

F

V

F

V

F

 

7

F

F

F

F

V

F

F

F

 

14

F

F

F

F

V

V

F

F

 

13

V

V

V

V

F

F

F

F

 

8

V

V

V

V

F

F

V

V

 

12

F

F

V

V

F

F

V

V

 

9

Podemos observar en el ejemplo anterior que no se trata de una contradicción; pero si es un es un esquema contingente.

 

OBSERVACIÓN:

 

A la tautología se la simboliza con la letra T

A la idea de tautología se la relaciona con el conjunto universal

A la contradicción se la simboliza con la letra C

A la contradicción se la relaciona con el conjunto vacío.

La negación de una tautología es una contradicción

La negación de una contradicción es una tautología.



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